Доказательство. Состав и структура доказательства. Опровержение и его структура. Логические ошибки.
Под доказательством в логике понимаетсяпроцедура установления истинности некоторого утверждения путем приведения других утверждений, истинность которых уже известна и из которых с необходимостью вытекает первое.
В доказательстве различаются тезис – утверждение, которое нужно доказать, обосновать,основание (аргументы) – те положения, с помощью которых доказывается тезис (Их истинность уже обоснована или не нуждается в обосновании в силу очевидности), и способ доказательства или демонстрация -логическая связь между самими аргументами и между аргументами и тезисом.
Обосновывать свои утверждения можно разными способами. Полный список всех видов доказательства представить нельзя, но основными из них являются две группы способов: прямые и косвенные:
При прямом доказательстве задача состоит в том, чтобы подыскать такие убедительные аргументы, из которых по логическим правилам получается тезис.
ПРИМЕР прямого доказательства: Например, нужно доказать, что сумма углов четырехугольника равна 360°. Из каких утверждений можно было бы вывести этот тезис? Отмечаем, что диагональ делит четырехугольник на два треугольника. Значит, сумма его углов равна сумме углов двух треугольников. Известно, что сумма углов треугольника составляет 180°. Из этих положений выводим, что сумма углов четырехугольника равна 360°.
Косвенное доказательство устанавливает справедливость тезиса тем, что вскрывает ошибочность противоположного ему допущения (антитезиса). Т.е. вместо прямого обоснования тезиса выдвигается антитезис, из антитезиса выводятся следствия, но они опровергаются объективными данными. Что говорит об истинности тезиса.
Пример:Допустим, нужно построить косвенное доказательство такого весьма тривиального тезиса: «Квадрат не является окружностью». Выдвигается антитезис: «Квадрат есть окружность». Необходимо доказать ложность этого утверждения. С этой целью выводим из него следствия. Если хотя бы одно из них окажется ложным, это будет означать, что и само утверждение, из которого выведено следствие, также ложно. Неверно, в частности, такое следствие: у квадрата нет углов. Поскольку антитезис ложен, исходный тезис должен быть истинным.
Другой пример. Врач, убеждая пациента, что тот не болен гриппом, рассуждает так. Если бы действительно был грипп, имелись бы характерные для него симптомы: головная боль, повышенная температура и т.п. Но ничего подобного нет. Значит, нет и гриппа.
Задача доказательства–исчерпывающе утвердить обоснованность доказываемого тезиса. Старая латинская пословица говорит: «Доказательства ценятся по качеству, а не по количеству». В самом деле, логический вывод из истины дает только истину. Если найдены верные аргументы и из них выведено доказываемое положение, доказательство состоялось, и ничего более не требуется.
Опровержениепредставляет собой зеркальное отображение доказательства.Опровержение – это рассуждение, направленное против выдвинутого положения и имеющее своей целью установление его ошибочности или недоказанности.
Наиболее распространенный прием опровержения – выведение из опровергаемого утверждения следствий, противоречащих истине. Хорошо известно, что, если даже одно-единственное логическое следствие некоторого положения неверно, ошибочным будет и само это положение. Например утверждение: Квадрат – это окружность. Следствиями это утверждения будут: квадрат не имеет углов и квадрат имеет углы, т.к. первое следствие неверно, то и утверждение неверно.
Другой прием установления несостоятельности выдвигаемого кем-либо положения – доказательство справедливости отрицания этого положения. Утверждение и его отрицание не могут быть одновременно истинными. Как только удается показать, что верно отрицание рассматриваемого положения, вопрос об истинности самого этого положения автоматически отпадет. Достаточно, скажем, показать одного черного лебедя, чтобы опровергнуть убеждение в том, что лебеди бывают только белыми.
Особое значение при опровержении имеют факты. Ссылка на верные и неоспоримые факты, противоречащие ложным или сомнительным утверждениям оппонента, – самый надежный и успешный способ опровержения. Реальное явление или событие, не согласующееся со следствиями какого-либо универсального положения, опровергает не только эти следствия, но и само положение. Факты, как известно, упрямая вещь. При опровержении ошибочных, оторванных от реальности, умозрительных конструкций «упрямство фактов» проявляется особенно ярко.
Ошибка в доказательстве – вещь довольно обычная. Проводя доказательства, мы опираемся на нашу логическую интуицию, на стихийно усвоенное знание законов логики. Как правило, оно нас не подводит. Но в отдельных и особенно в сложных случаях оно может оказаться ненадежным. Вследствие чего получаются «несостоявшиеся доказательства» – результат ошибок, допущенных – непреднамеренно или сознательно – в ходе доказательства. Доказательство – это логическая связь принятых аргументов и выводимого из них тезиса. Логические ошибки в доказательстве можно разделить на формальные, в отношении тезиса и в отношении аргументов:.
1) Формальная ошибкаимеет место тогда, когда умозаключение не опирается на логический закон и заключение не вытекает из принятых посылок. Иногда эту ошибку сокращенно так и называют – «не вытекает».
Немецкий физик В. Нернст, открывший третье начало термодинамики (о недостижимости абсолютного нуля температуры), так «доказывал» завершение разработки фундаментальных законов этого раздела физики: «У первого начала было три автора: Майер, Джоуль и Гельмгольц; у второго – два: Карно и Клаузиус, а у третьего – только один: Нернст. Следовательно, число авторов четвертого начала термодинамики должно равняться нулю, т.е. такого закона просто не может быть». Это шуточное доказательство хорошо иллюстрирует ситуацию, когда между аргументами и тезисом явно нет логической связи. Иллюзия своеобразной «логичности» рассуждения создается чисто внешним для существа дела перечислением.
2) Ошибки в отношении тезиса
Характерная ошибка в отношении тезиса – подмена тезиса, неосознанное или умышленное замещение его в ходе доказательства каким-то другим утверждением. Подмена тезиса ведет к тому, что доказывается не то, что требовалось доказать. Например, при доказательстве невиновности лица С., приводятся следующие доводы: С. – хороший работник, С. – примерный семьянин и др. В результате создается впечатление, что он хороший человек. Это не соответствует тезису, который доказывается (С. невиновен).
P.S. Также выделяют сужение (доказывая тезис о том, что человек должен быть честным, мало сказать, что врать – это не хорошо.) и расширение (кто доказывает слишком много, тот ничего не доказывает) тезиса.
3) Ошибки в отношении аргументов
Наиболее частая ошибка – это попытка обосновать тезис с помощью ложных аргументов.
Тигры, как известно, не летают. Но рассуждение «Только птицы летают; тигры не птицы; следовательно, тигры не летают» не является, конечно, доказательством этого факта. В рассуждении используется неверная посылка, что способны летать одни птицы: летают и многие насекомые, и млекопитающие (например, летучие мыши), и самолеты и др. С помощью же посылки «Только птицы летают» можно вывести не только истинное, но и ложное заключение, скажем, что майские жуки, поскольку они не птицы, не летают.
Под доказательством в логике понимаетсяпроцедура установления истинности некоторого утверждения путем приведения других утверждений, истинность которых уже известна и из которых с необходимостью вытекает первое.
В доказательстве различаются тезис – утверждение, которое нужно доказать, обосновать,основание (аргументы) – те положения, с помощью которых доказывается тезис (Их истинность уже обоснована или не нуждается в обосновании в силу очевидности), и способ доказательства или демонстрация -логическая связь между самими аргументами и между аргументами и тезисом.
Обосновывать свои утверждения можно разными способами. Полный список всех видов доказательства представить нельзя, но основными из них являются две группы способов: прямые и косвенные:
При прямом доказательстве задача состоит в том, чтобы подыскать такие убедительные аргументы, из которых по логическим правилам получается тезис.
ПРИМЕР прямого доказательства: Например, нужно доказать, что сумма углов четырехугольника равна 360°. Из каких утверждений можно было бы вывести этот тезис? Отмечаем, что диагональ делит четырехугольник на два треугольника. Значит, сумма его углов равна сумме углов двух треугольников. Известно, что сумма углов треугольника составляет 180°. Из этих положений выводим, что сумма углов четырехугольника равна 360°.
Косвенное доказательство устанавливает справедливость тезиса тем, что вскрывает ошибочность противоположного ему допущения (антитезиса). Т.е. вместо прямого обоснования тезиса выдвигается антитезис, из антитезиса выводятся следствия, но они опровергаются объективными данными. Что говорит об истинности тезиса.
Пример:Допустим, нужно построить косвенное доказательство такого весьма тривиального тезиса: «Квадрат не является окружностью». Выдвигается антитезис: «Квадрат есть окружность». Необходимо доказать ложность этого утверждения. С этой целью выводим из него следствия. Если хотя бы одно из них окажется ложным, это будет означать, что и само утверждение, из которого выведено следствие, также ложно. Неверно, в частности, такое следствие: у квадрата нет углов. Поскольку антитезис ложен, исходный тезис должен быть истинным.
Другой пример. Врач, убеждая пациента, что тот не болен гриппом, рассуждает так. Если бы действительно был грипп, имелись бы характерные для него симптомы: головная боль, повышенная температура и т.п. Но ничего подобного нет. Значит, нет и гриппа.
Задача доказательства–исчерпывающе утвердить обоснованность доказываемого тезиса. Старая латинская пословица говорит: «Доказательства ценятся по качеству, а не по количеству». В самом деле, логический вывод из истины дает только истину. Если найдены верные аргументы и из них выведено доказываемое положение, доказательство состоялось, и ничего более не требуется.
Опровержениепредставляет собой зеркальное отображение доказательства.Опровержение – это рассуждение, направленное против выдвинутого положения и имеющее своей целью установление его ошибочности или недоказанности.
Наиболее распространенный прием опровержения – выведение из опровергаемого утверждения следствий, противоречащих истине. Хорошо известно, что, если даже одно-единственное логическое следствие некоторого положения неверно, ошибочным будет и само это положение. Например утверждение: Квадрат – это окружность. Следствиями это утверждения будут: квадрат не имеет углов и квадрат имеет углы, т.к. первое следствие неверно, то и утверждение неверно.
Другой прием установления несостоятельности выдвигаемого кем-либо положения – доказательство справедливости отрицания этого положения. Утверждение и его отрицание не могут быть одновременно истинными. Как только удается показать, что верно отрицание рассматриваемого положения, вопрос об истинности самого этого положения автоматически отпадет. Достаточно, скажем, показать одного черного лебедя, чтобы опровергнуть убеждение в том, что лебеди бывают только белыми.
Особое значение при опровержении имеют факты. Ссылка на верные и неоспоримые факты, противоречащие ложным или сомнительным утверждениям оппонента, – самый надежный и успешный способ опровержения. Реальное явление или событие, не согласующееся со следствиями какого-либо универсального положения, опровергает не только эти следствия, но и само положение. Факты, как известно, упрямая вещь. При опровержении ошибочных, оторванных от реальности, умозрительных конструкций «упрямство фактов» проявляется особенно ярко.
Ошибка в доказательстве – вещь довольно обычная. Проводя доказательства, мы опираемся на нашу логическую интуицию, на стихийно усвоенное знание законов логики. Как правило, оно нас не подводит. Но в отдельных и особенно в сложных случаях оно может оказаться ненадежным. Вследствие чего получаются «несостоявшиеся доказательства» – результат ошибок, допущенных – непреднамеренно или сознательно – в ходе доказательства. Доказательство – это логическая связь принятых аргументов и выводимого из них тезиса. Логические ошибки в доказательстве можно разделить на формальные, в отношении тезиса и в отношении аргументов:.
1) Формальная ошибкаимеет место тогда, когда умозаключение не опирается на логический закон и заключение не вытекает из принятых посылок. Иногда эту ошибку сокращенно так и называют – «не вытекает».
Немецкий физик В. Нернст, открывший третье начало термодинамики (о недостижимости абсолютного нуля температуры), так «доказывал» завершение разработки фундаментальных законов этого раздела физики: «У первого начала было три автора: Майер, Джоуль и Гельмгольц; у второго – два: Карно и Клаузиус, а у третьего – только один: Нернст. Следовательно, число авторов четвертого начала термодинамики должно равняться нулю, т.е. такого закона просто не может быть». Это шуточное доказательство хорошо иллюстрирует ситуацию, когда между аргументами и тезисом явно нет логической связи. Иллюзия своеобразной «логичности» рассуждения создается чисто внешним для существа дела перечислением.
2) Ошибки в отношении тезиса
Характерная ошибка в отношении тезиса – подмена тезиса, неосознанное или умышленное замещение его в ходе доказательства каким-то другим утверждением. Подмена тезиса ведет к тому, что доказывается не то, что требовалось доказать. Например, при доказательстве невиновности лица С., приводятся следующие доводы: С. – хороший работник, С. – примерный семьянин и др. В результате создается впечатление, что он хороший человек. Это не соответствует тезису, который доказывается (С. невиновен).
P.S. Также выделяют сужение (доказывая тезис о том, что человек должен быть честным, мало сказать, что врать – это не хорошо.) и расширение (кто доказывает слишком много, тот ничего не доказывает) тезиса.
3) Ошибки в отношении аргументов
Наиболее частая ошибка – это попытка обосновать тезис с помощью ложных аргументов.
Тигры, как известно, не летают. Но рассуждение «Только птицы летают; тигры не птицы; следовательно, тигры не летают» не является, конечно, доказательством этого факта. В рассуждении используется неверная посылка, что способны летать одни птицы: летают и многие насекомые, и млекопитающие (например, летучие мыши), и самолеты и др. С помощью же посылки «Только птицы летают» можно вывести не только истинное, но и ложное заключение, скажем, что майские жуки, поскольку они не птицы, не летают.
